Teorija

13. Tjedan

• Lekcija: Nizovi i redovi funkcija, Taylorovi redovi i njihove primjene

---

1. Niz funkcija

1.1. Definicija niza funkcija

Neka je dana obitelj funkcija $\{f_n\}$, gdje svaka funkcija $f_n$ djeluje na nekom skupu (najčešće podskupu realnih brojeva) i ima realne vrijednosti:

$$f_n: D \to \mathbb{R}, \quad n \in \mathbb{N}.$$

Niz funkcija $(f_n)$ je tada funkcijski niz u kojemu promatramo kako se $f_n(x)$ mijenja s porastom $n$.

1.2. Uniformna i točkasta konvergencija niza funkcija

• Točkasta konvergencija: Kažemo da niz $(f_n)$ točkasto konvergira prema funkciji $f$ na skupu $D$ ako za svaku točku $x \in D$ vrijedi

  $$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x).$$

  To znači da se za svaki fiksni $x$ vrijedi “obična” (točkasta) konvergencija niza realnih brojeva $(f_n(x))$.

• Uniformna konvergencija: Niz $(f_n)$ uniformno konvergira prema $f$ na skupu $D$ ako

  $$\forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}: \quad \forall n \ge N, \quad \forall x \in D,\quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon.$$

  Uniformna konvergencija znači da se “brzina” konvergencije ne ovisi o konkretnom $x$ u skupu $D$; postoji jedan indeks $N$ zajednički za sve točke.

1.3. Primjeri nizova funkcija i analiza konvergencije

1. Primjer (točkasta, ne i uniformna):

   $$f_n(x) = x^n \quad \text{na } [0,1].$$

   Točkasto konvergira prema funkciji

   $$f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1,\\ 1, & x=1. \end{cases}$$

   Ipak, ne konvergira uniformno jer se ne može naći jedinstven $N$ koji za sve $x \in [0,1)$ istodobno osigurava $|x^n - f(x)| < \varepsilon$ kada $x$ bude veoma blizu 1.

2. Primjer (uniformna konvergencija):

   $$f_n(x) = \frac{x}{1+n x^2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

   Kako $n \to \infty$, $f_n(x) \to 0$ za sve $x$. Također,

   $$\sup_{x \in \mathbb{R}} \left| \frac{x}{1+nx^2} \right| \le \sup_{x \in \mathbb{R}} \frac{|x|}{nx^2} \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0,$$

   pa je konvergencija uniformna i prema funkciji $f(x) = 0$.

1.4. Teorem o granici niza funkcija

Ako niz $(f_n)$ uniformno konvergira prema $f$ i svaki $f_n$ je neprekidna funkcija na zatvorenom intervalu (ili kompaktom) $D$, tada je i funkcija $f$ neprekidna na $D$. Ovo je važan rezultat koji ne vrijedi samo za točkastu konvergenciju.

---

2. Red funkcija

2.1. Definicija reda funkcija

Red funkcija je beskonačna suma funkcija:

$$\sum_{n=1}^\infty f_n(x) = f_1(x) + f_2(x) + f_3(x) + \dots$$

Za svako $x$, ovo je ujedno i red realnih brojeva $\sum_{n=1}^\infty (f_n(x))$.

2.2. Točkasta i uniformna konvergencija reda funkcija

• Točkasta konvergencija reda $\sum f_n(x)$ znači da za svaki fiksni $x$ red $\sum f_n(x)$ (kao red realnih brojeva) konvergira.
• Uniformna konvergencija reda znači da je niz parcijalnih suma $$S_N(x) = \sum_{n=1}^N f_n(x)$$ uniformno konvergentan kao funkcija od $x$.

2.3. Uvjeti za uniformnu konvergenciju reda funkcija (Weierstrassov M-test)

Weierstrassov M-test: Ako postoje realni brojevi $M_n$ takvi da

$$|f_n(x)| \le M_n \quad \text{za sve } x \in D,$$

i ako red $\sum_{n=1}^\infty M_n$ konvergira, tada $\sum f_n(x)$ uniformno konvergira na $D$.

Primjer: Ako $f_n(x) = \frac{x^n}{n^2}$ za $|x|\le 1$, tada se može uzeti $M_n = \frac{1^n}{n^2} = \frac{1}{n^2}$. Znamo da $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergira (Riemannova zeta pri 2), pa slijedi da $\sum \frac{x^n}{n^2}$ uniformno konvergira na $[-1,1]$.

2.4. Primjeri konvergentnih redova funkcija

1. Geometrijski tip: $$\sum_{n=0}^\infty a^n x^n \quad \text{za } |ax| < 1.$$
   2. Red funkcija:
   $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2},$$ koji također konvergira (apsolutno) i možemo primijeniti M-test s $\left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2}$.

---

3. Red potencija i radijus konvergencije

3.1. Definicija reda potencija $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$

Red potencija je red oblika

$$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,$$

gdje su $a_n$ realni (ili kompleksni) koeficijenti, a $x$ je promjenjiva. To je osnovni tip funkcijske serije koje se često javljaju u analizi funkcija.

3.2. Radijus konvergencije: definicija i računanje

Radijus konvergencije $R$ kaže za koje vrijednosti $x$ (u apsolutnom smislu) red konvergira. Formalno:

• Cauchyjev korijenski kriterij:

  $$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{R}.$$

  Ako je ta $\limsup$ jednaka 0, kažemo da je $R=\infty$. Ako je beskonačna, $R=0$.

• D’Alembertov omjerni kriterij: Ako postoji granica

  $$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L,$$

  tada je $R = \frac{1}{L}$.

3.3. Abelov teorem o konvergenciji reda potencija

Abelov teorem kaže da ako red potencija $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ konvergira za $|x|<R$ i još postoji neka granica u otvorenom intervalu, onda se može proučiti i ponašanje na $|x|=R$. Precizno, Abelov teorem daje nastavak konvergencije i spone s uniformnom konvergencijom na djelomično zatvorenom intervalu.

3.4. Primjeri redova potencija i izračun radijusa konvergencije

1. Geometrijski red: $$\sum_{n=0}^\infty x^n \quad \text{ima } R = 1.$$
2. Red $\sum \frac{x^n}{n}$: Omjerni kriterij ili korijenski kriterij pokazuje da je $R=1$.
3. Eksponencijalni tip: $$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \quad \text{ima } R = \infty.$$

---

4. Deriviranje reda funkcija

4.1. Pravila za deriviranje reda funkcija

Ako $\sum f_n(x)$ uniformno konvergira na intervalu i ako su svaka $f_n$ diferencijabilna, uz dodatne uvjete da $\sum f_n'(x)$ također uniformno konvergira, tada možemo derivirati član po član:

$$\frac{d}{dx} \Bigl(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\Bigr) = \sum_{n=1}^\infty f_n'(x).$$

4.2. Uniformna konvergencija i deriviranje

Bitno je naglasiti da nam je za permantni prijenos deriviranja unutar beskonačne sume nužna uniformna konvergencija. U suprotnom, derivacija “član po član” ne mora dati korektan rezultat.

4.3. Derivacija reda potencija

Za red potencija

$$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,$$

unutar radijusa konvergencije možemo derivirati član po član:

$$\frac{d}{dx} \Bigl(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\Bigr) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{\,n-1}.$$

Dobivamo novi red potencija $\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}$, čiji je radijus konvergencije isti kao i izvornom (ili vrlo sličan, uz neke suptilnosti na rubu intervala).

4.4. Primjeri derivacije redova funkcija

1. Geometrijski:

   $$\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}, \quad |x|<1.$$

   Derivacija:

   $$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{(1-x)^2},$$

   a s druge strane:

   $$\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = 1 + 2x + 3x^2 + \dots$$

   i to se podudara s $\frac{1}{(1-x)^2}$ za $|x|<1$.

2. Eksponencijalna funkcija:

   $$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}, \quad \frac{d}{dx} e^x = e^x.$$

   Derivacija člana $\frac{x^n}{n!}$ daje $\frac{n x^{n-1}}{n!} = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$, što je opet ista struktura reda.

---

5. Taylorov red i primjene

5.1. Definicija Taylorovog reda

Taylorov red funkcije $f$ oko točke $x=a$:

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n.$$

Podrazumijeva se da je $f$ dovoljno puta derivabilna u okolini točke $a$.

5.2. Maclaurinov red kao poseban slučaj Taylorovog reda

Poseban slučaj Taylorova reda za $a=0$ naziva se Maclaurinov red:

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.$$

Klasični primjeri:

• $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$,
• $\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$,
• $\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$.

5.3. Radijus i interval konvergencije Taylorovog reda

Taylorov red je također red potencija, pa ima radijus konvergencije $R$. On često ovisi o singularitetima funkcije $f$ u kompleksnoj ravnini (ako promatramo kompleksno proširenje). U realnom slučaju, interval konvergencije bit će $(a-R, a+R)$ (možda šire ili uže na krajevima).

5.4. Primjene Taylorovog reda

• Aproksimacija funkcija:
  $f(x) \approx \sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n.$

• Analiza pogreške aproksimacije (Lagrangeov oblik ostatka):

  $$R_N(x) = \frac{f^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!} (x-a)^{N+1}$$

  za neku točku $\xi$ između $a$ i $x$.

5.5. Primjeri Taylorovih redova

1. Eksponencijalna funkcija: $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$.
2. Trigonometrijske funkcije:
   • $\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$.
   • $\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$.
3. Logaritamska funkcija (okolina 1): $$\ln x = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{(x-1)^n}{n}, \quad |x-1| < 1.$$

---

6. Primjena redova u analizi i znanosti

6.1. Redovi u matematičkoj analizi (Fourierov red)

Fourierov red razvija periodičke funkcije $f(x)$ u beskonačnu sumu sinusnih i kosinusnih funkcija. Koristan je za rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, analizu signala i mnoge inženjerske probleme.

6.2. Numeričke metode zasnovane na redovima (aproksimacije i rješavanje jednadžbi)

• Numeričko računanje transcendentalnih funkcija (npr. $e^x$, $\sin x$) često se svodi na sumiranje njihovih Taylorovih (Maclaurinovih) redova.
• Iterativne metode (npr. Newton-Raphson) mogu se analizirati i promatrati lokalno pomoću Taylorova reda.

6.3. Fizikalni modeli s redovima potencija

U fizici, jednadžbe gibanja, valne jednadžbe i druge često se rješavaju putem serijskih rješenja (npr. u teoriji perturbacija, kvantnoj mehanici i astrofizici). Redovi potencija mogu prikladno opisivati fizikalne veličine blizu ravnoteže ili malih parametara.

---

7. Zaključak

7.1. Povezanost između nizova funkcija, redova funkcija i redova potencija

• Niz funkcija može konvergirati točkasto ili uniformno.
• Red funkcija je zapravo beskonačna zbroj niza funkcija; govorimo o točkastoj i uniformnoj konvergenciji reda.
• Red potencija je poseban (i vrlo važan) slučaj reda funkcija, s naglaskom na radijus konvergencije.

7.2. Praktična važnost Taylorovog reda i njegovih primjena

Taylorov red ključno služi u:

• Aproksimaciji funkcija oko točke,
• Analizi pogreške i numeričkoj točnosti,
• Razumijevanju ponašanja funkcija i pronalaženju rješenja za jednadžbe.

7.3. Pregled ključnih metoda i rezultata za analizu redova

• Točkasta vs. uniformna konvergencija
• Weierstrassov M-test za uniformnu konvergenciju
• Radijus konvergencije za redove potencija (korijenski, omjerni kriterij)
• Derivacija (i integracija) redova potencija unutar radijusa konvergencije
• Taylorov i Maclaurinov red za aproksimaciju funkcija.

Vježbe

Ispit

Kako se definira točkasta konvergencija niza funkcija $(f_n)$ prema funkciji $f$ na skupu $D$?

$\forall x \in D, \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$

$\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} |f_n(x) - f(x)| = 0$

$\exists N \in \mathbb{N} \text{ takvo da je } |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon \text{ za sve } n \ge N \text{ i } x \in D$

$\sum_{n=1}^\infty f_n(x) \text{ konvergira za sve } x \in D$

Što razlikuje uniformnu konvergenciju od točkaste konvergencije niza funkcija?

Uniformna konvergencija zahtijeva da niz funkcija konvergira samo u nekoj točki.

Točkasta konvergencija zahtijeva da niz funkcija konvergira uniformno na cijelom skupu.

Uniformna konvergencija zahtijeva jedinstveni indeks $N$ za sve točke $x \in D$ kako bi $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$, dok točkasta konvergencija zahtijeva to za svaku pojedinu točku.

Točkasta konvergencija je jača od uniformne konvergencije.

Koji je glavni uvjet za primjenu Weierstrassovog M-testa na red funkcija $\sum f_n(x)$?

$f_n(x) \ge M_n$ za sve $x \in D$ i $\sum M_n$ konvergira.

$|f_n(x)| \le M_n$ za sve $x \in D$ i $\sum M_n$ konvergira.

$f_n(x) \le M_n$ samo za neke $x \in D$ i $\sum M_n$ divergiraju.

$|f_n(x)| \ge M_n$ za sve $x \in D$ i $\sum M_n$ konvergira.

Što predstavlja radijus konvergencije reda potencija $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$?

Najveći $x$ za koji red konvergira.

Najmanji $x$ za koji red konvergira.

Veličina $x$ za koju se red prelazi iz konvergentnog u divergentni.

Veličina $x$ za koju se red konvergira apsolutno.

Koji teorem osigurava da ako niz funkcija $(f_n)$ uniformno konvergira prema $f$ i svaka $f_n$ je neprekidna, tada je i $f$ neprekidna?

Teorem o granici niza funkcija

Weierstrassov M-test

Abelov teorem

Taylorov teorem

Kako se izračunava radijus konvergencije reda potencija $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ pomoću D’Alembertovog kriterija?

$R = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$

$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$

$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$

$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}$

Što kaže Abelov teorem o konvergenciji reda potencija?

Ako red potencija konvergira unutar radijusa, tada konvergira i na rubu.

Ako red potencija konvergira na rubu radijusa konvergencije, tada je niz uniformno konvergentan.

Ako red potencija konvergira unutar radijusa, onda se ponaša kao polinom.

Ako red potencija konvergira na rubu radijusa konvergencije, onda postoji nastavak konvergencije na tom rubu.

Koji je glavni cilj deriviranja reda funkcija?

Pronalaženje integrala redova funkcija.

Izračunavanje granica redova funkcija.

Aproksimacija funkcija pomoću polinoma.

Izvođenje funkcije redom funkcija radi analize promjena.

Koji red potencija ima radijus konvergencije $R = \infty$?

$\sum_{n=0}^\infty x^n$

$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

$\sum_{n=0}^\infty n x^n$

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n$

Koja je primjena Taylorovog reda u matematičkoj analizi?

Pronalaženje integralnih vrijednosti funkcija.

Aproksimacija funkcija polinomima oko određene točke.

Definiranje skupa funkcija.

Rješavanje linearnih jednadžbi.